El matemático explica que “igual” tiene múltiples significados.
Las matemáticas tienen muchos conceptos abstractos que a menudo son difíciles de comprender, pero asumimos que el significado de “igual” estaba bien entendido. Sin embargo, parece que los matemáticos no están de acuerdo en la definición exacta de la igualdad, lo que podría plantear desafíos para los programas informáticos que se utilizan cada vez más para verificar pruebas matemáticas.
Este debate académico ha estado latente durante décadas, pero se ha vuelto crítico porque los programas informáticos utilizados para formalizar o verificar pruebas requieren definiciones precisas y sin ambigüedades, no aquellas abiertas a interpretación o contexto que las computadoras carecen.
El matemático británico Kevin Buzzard del Imperial College de Londres encontró este problema mientras colaboraba con programadores, lo que lo llevó a reevaluar la definición de “igual” para desafiar las suposiciones comunes sobre la igualdad.
La revelación de Buzzard sobre la igualdad matemática Buzzard reflexiona en su preimpresión en el servidor arXiv que hace seis años creía entender la igualdad matemática como un concepto bien definido. Sin embargo, trabajar con probadores de teoremas computarizados a nivel de maestría reveló que la igualdad es un tema más complejo y espinoso de lo que había realizado.
El signo de igual (=), creado por el matemático galés Robert Recorde en 1557 para simbolizar la igualdad entre objetos, inicialmente tardó en ser aceptado. Eventualmente reemplazó el término latino “aequalis” y sentó las bases para la ciencia computacional, haciendo su debut en el lenguaje de programación FORTRAN I exactamente 400 años después, en 1957.
El concepto de igualdad se remonta a la antigua Grecia, pero los matemáticos modernos lo utilizan de manera algo imprecisa, según Buzzard.
Tradicionalmente, los matemáticos usan el signo de igual en ecuaciones para demostrar que diferentes objetos matemáticos comparten el mismo valor o significado, una relación verificada a través de transformaciones. Por ejemplo, el número entero 2 puede representar un par de objetos, al igual que 1 + 1.
La influencia de la teoría de conjuntos en la igualdad Desde finales del siglo XIX, se ha utilizado otra definición de igualdad, originada en la teoría de conjuntos. A medida que la teoría de conjuntos se desarrolló, la noción de igualdad se expandió. Por ejemplo, los matemáticos pueden considerar el conjunto {1, 2, 3} igual al conjunto {a, b, c} debido a la isomorfía canónica, que evalúa las similitudes estructurales entre grupos.
Buzzard explica que los matemáticos encontraron práctico llamar iguales a tales conjuntos porque se alinean naturalmente, como señaló a Alex Wilkins de New Scientist.
Sin embargo, este enfoque de la igualdad, conocido como isomorfía canónica, ahora está causando problemas a los matemáticos que intentan formalizar pruebas con computadoras, afectando incluso conceptos fundamentales establecidos hace mucho tiempo.
“Ninguno de los sistemas informáticos existentes captura cómo matemáticos como Grothendieck usan el símbolo de igual”, dijo Buzzard a Wilkins, refiriéndose a Alexander Grothendieck, un matemático clave del siglo XX que utilizó la teoría de conjuntos para describir la igualdad.
Algunos matemáticos proponen redefinir conceptos para equiparar formalmente la isomorfía canónica con la igualdad.
Buzzard no está de acuerdo, instando a los matemáticos a reevaluar conceptos fundamentales como la igualdad para cerrar la brecha entre su comprensión y lo que las computadoras pueden procesar.
“Cuando uno se ve obligado a definir claramente lo que significa sin depender de términos vagos”, escribe Buzzard, “a veces uno tiene que hacer un trabajo adicional o repensar cómo se deben presentar ciertas ideas”.
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